PANGKAT
TAK SEBENARNYA.
A.
Bilangan Rasional.
Definisi
: , dengan a, b
B dan b
0
B. Arti
pangkat dan kali
Definisi
pangkat : = a
x a x a x a x . . . x a
Definisi
kali : a x b = b + b + b + ... + b
A
suku
C.
Teorema-teorema Bilangan Berpangkat
1.
Perkalian Bilangan Berpangkat
Jika
a
Q, dan n, m
bilangan bulat positip maka :
x
=
2.
Pembagian Bilangan Berpangkat
Jika
a
Q, a
0, dan n, m
bilangan bulat positip maka :
=
dengan n
m
3.
Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Jika
a
Q, dan n,m
bilangan bulat positip maka :
(
)m
= =
4.
Perpangkatan dari Bentuk Perkalian
Jika
a,b
Q, dan n
bilangan bulat positip maka :
=
x
5.
Perpangkatan dari Bentuk Pembagian
Jika
a,b
Q, b
0, dan n
bilangan bulat positip maka :
n
=
6.
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat
a.
Jika a, p, q
Q dan n, m
bilangan bulat positip dengan m
n
maka :
+
=
b.
Jika a, p, q
Q dan n, m
bilangan bulat positip dengan m
n maka
:
-
=
pam
– qan
= an(pam-n
– q)
7.
Pangkat Bilangan Bulat Negatip
Jika
a
Q, a
0, dan n
bilangan bulat positip maka :
a-n
=
8.
Pangkat Nol
Jika
a
Q , dan a
0 maka : a0
= 1
D. Bentuk
Akar dan Pangkat Pecahan.
1.
Arti Bentuk Akar
a , bila a
0
=
-a , bila a
0
2.
Teorema-teorema Bentuk Akar
a.
Penyederhanaan Bentuk Akar
Jika
a, b
bilangan rasional positip maka :
=
x
b.
Perkalian Bentuk Akar
Jika
a, b, c, d
Q , b
0 dan d
0 maka :
a
x c = ac
c.
Penjumlahan Bentuk Akar
Jika
a, b, c
Q , dan c
0 , maka :
a
+ b
= (a + b)
d.
Penjumlahan Bentuk Akar
Jika
a, b, c
Q , dan c
0 , maka :
a
- b
= (a - b)
e.
Pembagian Bentuk Akar
Jika
a, b
Q
, dan a
0 , a
0 maka :
=
atau =
E.
Pangkat Pecahan
1.
Teorema 1 :
=
2.
Teorema 2 :
=
= n
F.
Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Prinsip
Dasar :
1.
Bentuk akar merupakan bilangan irrasional
Contoh
: , + , -
dll.
2.
Pecahan bentuk akar juga bilangan irasional.
Contoh
: ,
3.
Bentuk-bentuk akar sekawan.
a.
Sekawan dari adalah
b.
Sekawan dari a + adalah a -
c.
Sekawan dari + adalah -
4.
Merasionalkan penyebut adalah mengalikan penyebut tersebut dengan
pasangan
bentuk
akar sekawannya.
Contoh
:
a. = x = ()2
= a
b. a + = (a + ) x (a
- ) = a2
- ( )2
= a2
- b
c. = x = =
d. = x = = =
3 - 6
e. = x = = =
( + )
Pola,
Barisan, dan Deret Bilangan
Materi
:: Pola, Barisan, dan Deret Bilangan
Kelas
:: IX semester genap
Pada
pembahasan kali ini kita akan membahas apa aja sih ?
1)
Pola Bilangan
2)
Barisan Bilangan
3)
Barisan dan Deret Aritmatika
4)
Barisan dan Deret Geometri
***************************
1)
Pola Bilangan
A.
Pengertian Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang
mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat
susunan angka" baik mendatar, menurun, diagonal (miring).
B.
Jenis dan Bentuk Pola Bilangan
a)
Pola Bilangan Ganjil
o
o
o
o
o
o
o
o o
berikut
pola titik" yang menyatakan suatu bilangan ganjil yang
dinyatakan dengan banyak titik nya , yaitu 1, 3, 5, dst
b)
Pola Bilangan Genap
o
o
o
o
o o
o
o
o
o o o
berikut
pola titik" yang menyatakan suatu bilangan genap yang dinyatakan
dengan banyak titik nya , yaitu 2, 4, 6, dst
c)
Pola Bilangan Segitiga Pascal
(Bentuk
Segitiga) >> diperoleh dari penambahan baris diatasnya ..
1
1
2 1
1
3 3 1
1
4 6 4 1
1
5 10 10 5 1
1
6 15 20 15 6 1 ....
d)
Pola Bilangan Persegi
o
o
o
o
o
o
o o
o
o o
o
o o
...
Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat
dari bilangan asli . Un= n^2
e)
Pola Bilangan Persegi Panjang
o
o
o
o o
o
o o
o
o o o
o
o o o
o
o o o
...
Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ... Un = n(n+1)
f)
Pola bilangan segitiga
Bentuk
segitiga sama sisi >>
o
o
o
o
o
o
o
o
o o
...
Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)
2.
Barisan Bilangan
Jenis-jenis
barisan bilangan ::
a.
Barisan Bilangan Genap
Barisan:
2, 4, 6, 8, ...
Deret:
2 + 4 + 6 + 8 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = 2n
Jumlah
n suku pertama: Sn = n² + n
2.
Barisan Bilngan Ganjil
Barisan:
1, 3, 5, 7, 9, …
Deret:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = 2n – 1
Jumlah
n suku pertama: Sn = n²
3.
Barisan Bilangan Persegi ( Kuadrat )
Barisan:
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Deret:
1 + 4 + 9 + 25 + 36 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n²
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/6 n( n + 1 )( 2n + 1 )
4.
Barisan Bilngan Kubus ( Kubik )
Barisan:
1, 8, 27, 64, 125, 216, …
Deret:
1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n³
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/4 n² ( n + 1 )²
5.
Barisan Bilangan Segitiga
Barisan:
1, 3, 6, 10, 15, 21, …
Deret:
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = 1/2 n ( n + 1 )
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
6.
Barisan Bilangan Persegi Panjang
Barisan:
2, 6, 12, 20, 30, 42, …
Deret:
2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n ( n + 1 )
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
7.
Barisan Bilangan Balok
Barisan:
6, 24, 60, 120, …
Deret:
6 + 24 + 60 + 120 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = n ( n + 1 ) ( n + 2 )
Jumlah
n suku pertama: Sn = 1/4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )
8.
Barisan Bilangan Fibonacci
Barisan
Bilangan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan
jumlah dua suku di depannya.
Barisan:1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Deret:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + …
Rumus
Suku ke-n: Un = Un - 1 + Un – 2
Jumlah
n suku pertama: Sn = 2Un+U(n-1)-U2
C.
Barisan dan Deret Aritmatika
1)
Barisan Aritmatika
Barisan
Aritmatika adalah barisan dimana suku berikutnya diperoleh dengan
cara menambahkan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan
tetap itu disebut beda (b).
Bentuk
umum :: a , a+b , a+2b , a+3b , ... , a+(n-1)b
beda
(b) = U2-U1 = U3-U2 = .... = Un-U(n-1)
Un
= a+(n-1)b
dengan
:
a
= suku pertama
b
= beda ( selisih )
n
= banyaknya suku
Un
= suku ke-n yaitu suku terakhir
2)
Deret Aritmatika
Deret
aritmatika adalah jumlah semua suku pada barisan aritmatika.
Bentuk
umum :: a + (a+b) + (a+2b) + ... + a+(n-1)b
Jumlah
n suku pertama deret aritmatika Sn , Sn = n/2 (a+Un) atau Sn = n/2
(2a+(n-1)b)
deret
barisan aritmatika bermacam – macam, yang penting barisan yang di
buat memenuhi syarat tersebut, contohnya adalah sebagai berikut :
Deret: 1, 5, 9, 13, 17, …
dapatkah
kawan – kawan meneruskannya ? iya’, mudah sekali,karena apa ?
kita mengetahui polanya,yaitu mempunya beda 4,dan suku selanjutnya
adalah 21, 25, … dan barisan aritmatika juga dapat kita batasi
sendiri yang penting memenuhi syarat tadi…….
sebetulnya
barisan aritmatika mempunya banyak macam, tapi kita anak smp hanyalah
ini yang di ajari di sekolah, untuk sekedar pengayaan, ada juga
aritmatika tingkat 2, kalau itu tadi tingkat 1.
secara
umum dapat di tulis :
Rumus
Suku ke-n : Un = an² + bn + c
tapi
kita harus mencari dulu nilai a, b, dan c, hanya sebagai ilmu
tambahan aja ^^ .. lain kali kita bahas ya :D
3.
Sifat Barisan dan Deret Aritmetika
a)
Jika U1, U2, U3, U4 -> barisan aritmetika maka berlaku :
>>
2 U2 = U1 + U3
>>
U2+U3 = U1+U4
b)
Hubungan antara Un dan Sn
Un
= Sn - S(n-1)
c)
Sisipan pada barisan artimatika
apabila
diantara 2 suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan
aritmatika baru, maka beda suku baru setelah sisipan adalah : b' = b
/ (k+1)
dengan
:
b'
= beda setelah sisipan
b
= beda sebelum sisipan
k
= banyak suku sisipan
banyaknya
suku baru setelah sisipan adalah: n' = n+(n-1)k
dengan
:
n'
= banyak suku setelah sisipan
n
= banyak suku sebelum sisipan
k
= banyaknya suku sisipan
Jumlah
n suku pertama sesudah sisipan adalah : Sn' = n'/2 (2a+(n'-1)b')
ex
: Diantara 5 dan 50 disisipi 8 bilanagn sehingga membentuk barisan
aritmatika. Tentukan barisan tersebut .. jawab : beda sebelum sisipan
= b = 50-5 = 45 beda sesudah sisipan b' = b / (k+1) = 45/(8+1)
= 45/9 = 5 jadi barisan yg dibentuk : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,
45, 50.
4.
Suku Tengah Aritmatika
Ut
= (a+Un)/2
dengan
:
Ut
= suku tengah
Un
= suku ke-n
a
= suku pertama
D.
Barisan dan Deret Geometri
1.
Barisan Geometri
Barisan
Geometri adalah suatu barisan bilangan dimana suku-suku berikutnya
diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap pada suku
sebelumnya. Bilangan tetap itu rasio (r)
Bentuk
umum :: a , ar, ar^2 , ... , ar^(n-1)
r
= U2/U1 = U3/U2 = ... = Un/U(n-1)
Un
= ar^(n-1)
dengan
:
a
= U1 = suku pertama
r
= rasio
n
= banyak suku
untuk
r
untuk
r>1 disebut geometri naik (barisan divergen)
2)
Deret Geometri
Deret
geometri adalah jumlah semua suku pada barisan geometri,
Bentuk
umum :: a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1).
Jumlah
n suku pertama deret geo (Sn)
Sn
= a[(r^n - 1)/(r-1)] , r>1
Sn
= a[(1 - r^n)/(1-r)] , r
Jika
nilai rasio (r) adalah 0 < r < 1 maka jumlah n suku sampai tak
hingga adalah :
S~
=a/(1-r) dengan :
a=
suku pertama
r
= rasio
3.
Sifat Barisan dan Deret Geometri
a)
Jika U1, U2, U3, U4 adalah barisan geometri
>>
(U2)^2 = U1 * U3
>>
U1 * U4 = U2 * U3
b)
Hubungan antara Un dan Sn
Un
= Sn - S(n-1)
c)
Sisipan pada barisan geometri
apabila
diantara dua suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan
geometri baru maka rasio baru setelah sisipan adalah : r' =
(k+1)'V(r) = (k+1) akar pangkat dari r
dengan:
r'
= rasio setelah sisipan
r
= rasio sebelum sisipan
k
= banyaknya suku sisipan
banyaknya
suku baru setelah sisipan adalah n' = n+(n-1)k
dengan
:
n'
= banyaknya suku setelah sisipan
n
= banyaknya suku sebelum sisipan
k
= banyknya suku sisipan
jumlah
n suku pertama setelah sisipan :
Sn'
= a [{(r')^(n'-1)} / (r' - 1) ] , r'>1
Sn'
= a[{1 - (r')^n} / (1-r') ] , r' < 1
4.
Suku tengah geometri
Ut
= V(a. Un)
Ut:suku
tengah
a
: suku pertama
Un:
suku ke-n
